緣起微積分

翻查著名的科學家或者學者的生平，總會發覺每個人跟數學都有一段緣，和微積分也很早便有不解的緣份。

愛因斯坦自嘲數學不濟，但他在德國唸書時，成績表上數學和物理都拿了 6 分，6 分是滿分！

牛頓和數學家 Leibnitz 更不用說，他們自己就發明了微積分。

現代電腦之父馮紐曼 (John von Neuman, 1903 - 1957)，8 歲已懂微積分，6歲時，就能心算 8 位除數，23 歲取得布達佩斯大學數學博士學位。

物理學家費曼(Richard Feynman, 1918 - 1988)，自小已是科學頑童。15 歲就已掌握了微積分的應用。13 歲時，在圖書館借了一本微積分的書自學，還訛稱替自己父親借閱。

不過，這些例子都比較極端。作為一個普通人，我還是到高中才認識這樣奇妙的東西。

話說中學時代，學校分了數學和『附加數學』兩科。附加數學專教一些比較高深的數學方法，例如：複數 (complex number)、二次曲線 (conic section)、極限 (limit) 和微積分等等。但並非每個同學也有機會學習的，自己未開竅，資質也欠佳，便注定機會落空。

已升到中四，附加數沒有自己份兒，作為理科生，很不是味道。當時有個想法：連 science 和 engineering 的基本裝備，自己也沒有，往後到了預科和大學時，怎麼辦？

決定自修。那年，已經 16 歲。

當時最流行的附加數教科書，是一本叫『Text on Additional Mathematics』的書。大約 A5 大小，厚厚的一大本，典型的教科書，枯燥兼乏味。

找來這本書，讀了一段日子，微積分的部分已開始有點眉目，但它和其他數學分枝的關係，仍是一頭霧水。雖然開始懂得做書裡面的習題，但香港出版的為考試而寫的教科書實在悶得透頂，所謂『淡出個鳥來』。

當年是中四，教數學的老師已換了人，再不是中三那一個。這個老師姓何，我們都 nickname 他做『何佬』。

『何佬』的造型，有點似一個高瘦的中年低級公務員，樸實的裇衫西褲和白襪，冬天會加件外套。印象中，那條西褲是有點『吊』腳的。

他其實是百份百的好人，幾乎你問他的，都傾囊相授。但因為中學生一般都很惡教，所以有時他會扮『寸』，對那些自以為是又說話多多的同學，揶揄一番。但有時又因為和學生玩得太投契，以致被人整了也懵然不知。有次水運會，在觀眾席上，親眼目睹有人在他背脊上貼了『徵婚』兩個大字！

何佬最令我印象深刻的示範之作，是有次數學堂時，他站在黑板前講書。題目是一條幾何問題，都是證明這個角等於那個角，最後要計出一個角或一條邊等於多少等等。

正當他要導出最後那幾行演算時，黑板上已盡是些三角函數的組合：

但馬上他便可以寫下去：

坐前排看得清楚的，早已紛紛『嘩嘩』聲。就連數學成績較好的，也不禁露出佩服的表情。究竟他是如何做到的？

為釋大家的疑慮，何佬忙說道：『唔係唔係 ...... 嗱，只要大家也記著這兩個三角型便成了。』隨即在黑板上劃了幾筆：

就這樣，sin、cos 和 tan 30、45 及 60 度便一目了然。

這次之後，我發現兩件事：

1) 他有一些比較 advance 的祕技沒有教我們；

2) 他肯定可以把 10 以內所有整數的平方根也倒背如流，而且準確到小數點後 3 個位。

記得那年的暑假，我在外公外婆家中渡過。暑假之後，我也把 10 以內的平方根背熟了，是小數點後 9 個位。

有一次，何佬知道我們想自學微積分，對我們說：『你們放學後到水街吧，那裡有間書光鋪(按：即書店)，有本叫 Teach Yourself Calculus，10 蚊有找。』

我想：『不用 10 元便有一本很好的微積分書？不會吧。』

放學後，我真的跑到那間『書光鋪』去，一問之下，老闆立即拿了那本『Teach Yourself Calculus』出來給我，盛為港幣 $8.9。

$8.9 一本數學書，全新，輕飄飄的。

回家把書翻開來一看，作者 P. Abbott，英國印刷，第一版竟是 1940 年。那是德軍打英國的二戰時代。這本書肯定是戰爭時期克難中的產物。再看目錄，裡面有函數、極限、微商、三角函數的微分等等比較基本的東西。再下去是指數函數、雙曲函數、標準積分、定積分、面積、體積和曲線的計算等等。但最令我驚喜的是最尾幾章還包括了積分在力學上的應用、偏微分，泰勒級數 (Taylor Series)，還有到預科才學到的微分方程式。

再翻開內文，淺易的英文，排版也尚算令人舒服。整體的感覺，是這本書不會因為一個問題或概念太顯淺而輕輕帶過。它會帶你由最最基本開始，很 fundamental 的東西，直到你明白那個技巧是怎麼一回事為止。沒有浮誇的評述，亦不會事事故作神秘。不會沉悶，是趣味之作。

非常好的入門書。

到今天，我還保留著這本 Calculus 的入門書，雖然已經讀懂了裡面的東西，但偶爾也會拿來翻一翻，回味一下裡面的想法和邏輯。

記得有一次，我打電話問何佬，如果要對 e 函數求微分，但要用 first principle，應該怎麼辦。他在電話裡想了一想，隨即便由頭到尾演繹一次給我聽。

不論你何時問他，他總會有個答案。