開立方根不用計算機

4 的3 次方是4 x 4 x 4 = 64，換言之，64 開3 次方，即64 的立方根便是4，很簡單的。

那66 的立方根是多少？

66 和64 相差不遠，答案必定是 4 再多一點點。

一按計算機，答案是4.0412...

不用計算機，那很難吧？

這裡有個方法：

那一點點，就是數字多出的部分除以3，再除以該數字立方根的平方。

比方說，現在要求66 的立方根，那66 - 64 = 2 就是那多出的部分。所以，立方根多出的部分，就是 2 除以3，再除以64 的立方根的平方，即4的平方，那就是16。而2除3再除16，則等於八分一除3，即0.125除3，約等於0.042。

這多出的一點點再加上原來的4，就是4.042。而4.042 的3 次方，等於66.04，和66相比，誤差只有百分之四左右，不俗吧？

為什麼這方法可以求出立方根？

在微積分裡，

所以

而現在是開立方根，所以設

這就是為何會出現那三分之一。

所以

這方法其實用來求平方根也可以，稍加更改，那一點點超出的部分，就是相差的數目再除以2，然後再除以該數字的平方根。

《我的十年書單》

不是說其他書不好看，也可能因為其他書太好看，所以遲遲未清理這張清單。這只是本清單的第一部份，涵蓋部份我認為必須一看(至少看一次)的書籍。但由於種種原因，諸如時間、金錢、空間上的限制而未能實現。希望，在可見的將來，可以一口氣把它們看完。


電腦科學

書名：The Emperor's New Mind
作者：Roger Penrose
為何想看：二十世紀科普中的巨著。涵蓋電腦科學、思維、數學及物理。作者用近 600 頁的篇幅去解釋為何我們不能真正了解人是如何思考的。內容廣博，推導嚴謹，是我看過各類關於杜林機( Turing Machine)、計算理論(Computation Theory)、複數(Complex Number)、碎形(Fractal) 中最精彩的一部，關於人工智能的一本巨著。

書名：Introduction to the Theory of Computation
作者：Michael Sipser
為何想看：計算理論(Computation Theory)的入門書。雖說入門，但內容涵蓋多個重要題目，包括有限狀態自動機(Finite Automata)、杜林機、P / NP 難題、複雜性(Complexity)等等及其相關問題的嚴謹証明。作者序中有一小段發人深省的說話：
Computer technology changes quickly. Specific technical knowledge, though useful today, becomes outdated in just a few years. Consider instead the abilities to think, to express yourself clearly and precisely, to solve problems, and to know when you haven't solved a problem. These abilities have lasting values. Studying theory trains you in these areas.

物理學

書名：The Feynman Lectures on Physics
作者：Richard P. Feynman (1918 - 1988)
為何想看：被籲為講解相對論比愛因斯坦還要好的物理學家。此書是作者把60年代在加州理工學院的講課內容輯錄成書的傑作，花名紅皮書的『費曼物理學講義』在出版40年後仍被世界各地研究物理的人不停參巧及引用。1948年費曼提出『路徑積分』(Path Integral) 方法以解決量子電動力學的問題。1965年諾貝爾物理學獎得主之一。

書名：The Principles of Quantum Mechanics
作者：Paul Dirac (1902 - 1984)
為何想看：偉大的狄拉克(Paul Dirac)，量子力學的開山祖師之一，曾是劍橋大學『盧卡遜數學教授』(此職位現為霍金(Stephen Hawking)擔任)，其科學上的哲學為："Physical laws should have mathematical beauty and simplicity." 此書於1930年出版，引入後來被廣泛應用的 Delta 函數及bra-ket 符號。狄拉克預言正電子(positron)的存在，後於1932年被証實。1933年諾貝爾物理學獎得主之一。Amazon 網站上其中一位給此書 5 星的書評：
"Dirac's masterpiece surely needs no reviews, but I dare to write one for younger people. This is it! The first chapter alone would be worth of the price. Wonderful insights, not to be found anywhere else, in almost every page. Supremely elegant, yet natural and self-contained. The whole way of writing physics was transformed by this gem of a book. Learn, at Chapter V, what led Feynman to his version of Quantum Mechanics. Schwinger started here too (at fourteen!). Unparalleled."

數學

書名：A Course of Pure Mathematics
作者：G. H. Hardy (1877 - 1947)
為何想看：1908年，劍橋大學數學家Hardy 為改革英國的數學教學方法而寫成的書，被籲為數學分析(Mathematical Analysis) 及微積分的入門經典巨著。雖說入門，但Hardy當年寫此書時是有意為尖子而設，故書中附有大量非常困難的題目。作者序中有以下一段：
"This book has been designed primarily for the use of first year students at the Universities whose abilities reach or approach something like what is usually described as 'scholarship standard'. I hope that it may be useful to other classes of readers, but it is this class whose wants I have considered first. It is in any case a book for mathematicians: I have nowhere made any attempt to meet the needs of students of engineering or indeed any class of students whose interests are not primarily mathematical."
2008年，此書出版了百周年記念版，是為第10版。

書名：Theory of Games and Economic Behavior
作者：John von Neumann (1903 - 1957), Oscar Morgenstern (1902 - 1977)
為何想看：數學家 Neumann 和經濟學家 Morgenstern 於1944年的巨著，首次將博弈論(Game Theory)數學化，被視為博弈論作為一門有系統科學的鼻祖。書中詳述多種博弈背後的理論，包括2-person、3-person、zero-sum、non-zero-sum 等等。Amazon 上的 5 星書評：
"You basically have to be a mathematician to get full value from this book. This book is absolutely full of equations and complex proofs. For a beginner with little math, I'd recommend Game Theory by Morton Davis, or for someone with some university math I'd recommend Games and Decisions by Luce and Raiffa. However, if your math is good, you might as well go straight to this book, which started the whole field of game theory."
此書的60周年記念版於2004年出版。

統計力學 (Statistical Mechanics)

終於在還書期限之前，讀完這本 Statisical Mechanics 的頭 5 個 chapter，也是我最想知道的部份。其實全書總共有 13 個 chapter，5 個 appendix。但對於我這種物理學的門外漢，看懂了開頭的部份已經非常滿足。

一向有個帶著書本四處去的習慣，也習慣毫無顧忌地在飲茶食飯的地方，趁著飯菜還未到的時候，拿出來消磨時間，頂頂癮。

帶著這本書，會引起很多奇怪的問題。例如有人會問我為何如此勤力，是否臨近考試 (大概因為很少人會在無聊時看這些很深、很技術性的書)？又有人問過為何『統計』裡面會有『力學』？更有人因為只看到書名的頭一個字是“Statistics”而誤以為是本關於統計學的數學書。

『統計力學』是物理學的分枝，專門利用統計和或然率的方法去研究物質在很大數量時的運動，即它們的力學。例如，一個樽裡面的氣體，是由天文數字的氣體粒子組成，各有各的運動方向，速度和能量都各不相同。但把這些合起來，卻又可以解釋這堆粒子的能量分佈。

至於為何要用上統計？打個比喻：香港有 700 萬人，要調查某電視節目的收視率，總不成要訪問全港 700 萬人吧？抽樣訪問1000人之後，用統計將結果推展至 700 萬人便知收視率了。

原來一堆氣體可以有很多個能階 (energy level)，而並不是所有粒子都是位於同一個能階的，他們有一個分佈，找出他們的分怖情況，就能夠解釋很多宏觀世界的現象。諸如半導體和雷射等等的裝置，其基本原理，都是基於書裡面說的，著名的『費米─狄拉克統計』(Fermi-Dirac Statistics)。

事情是這樣的：剛剛完成的 Master 課程裡面，有一科是 Optoelectonics，專講 Laser 的原理和應用。負責講課的 Professor Surya 在課程開始的頭幾課時，講解了一些學 Laser 之前必須要知的物理學知識，其中一些便是 Fermi Energy 和 Fermi Distribution Function：

由於時間關係，而且當中也涉及到量子力學，Prof. Surya 根本無法慢慢解釋這條著明公式的來龍去脈。

好奇的我，下課後當然按捺不住，直奔圖書館，翻了一遍，結果找來這本統計力學的入門書。翻到 chapter 5，終於找到這條公式的出處。

可是要理解它，就必須看完這 5 個 chapter，以功課和工作的繁重，根本沒可能。到今年整個課程完結之後，終於可以一口氣看完它，很滿足。

Fermi 和 Dirac 都是物理學的巨人。Enrico Fermi 更被籲為是現代物理學的最後一位通才，而 Paul Dirac 便是量子力學 (Quantum Mechanics) 和量子電動力學 (Quantum Electrodynamics) 的開山祖師。

運氣，其實不簡單

圖片來源：http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

期待很久的 2007 - 08 semester 2 exam 結果，終於在 6 月7 日公佈。

這個 sem 是我 master 生涯裡的最後一個 sem，完成之後，如考試結果不太強差人意，那將會把短暫的碩士生涯劃上句號，等畢業。

記得那天黑雨，大夥兒都不用返工。清早起來，肚仔餓，待雨勢漸小後，和老婆仔幫襯屋企樓下的麥記。之後便匆匆回家，著電腦。

Click 入 PolyU check exam result 的網頁，要先 login，過程中只想著，合格，一定要合格！

之前讀的 8 科，成績最好的只有個 B+。再回想今個 sem 讀的 Consumer Electronics 和 Video Technology，前者不用考試，但要交很多論文功課，還有一次小測。那個小測很好笑，由當初的 closed book，變成經由民主投票決定的 open book。

個人對 open book 的考試或測驗，實在有所保留，只因如果是長題目，大家便會像罰抄一樣，抄到手軟。而且這種形式不是考一個人識多少，而只是考大家能否在浩瀚的筆記之中，尋回那一點點答案，並且以迅雷不及掩耳的速度寫在答題紙上。記著，不可龜速，因為，可能還有十九幾題在後面等著你。

教這科的教授實在太棒，只因測驗卷的設計也實在棒呆了。每題長題目均有個框框，你答得太多，超越了那個框框的範圍，明顯地你已離開正確答案，愈踩愈遠。

好明顯，一個不折不扣的貼士。

卷裡還有一些選擇題，很易，真的一點也不難。可以大膽講一句，有讀書，一定識。

結果是我很快便做完那份卷，double check 之後，覺得還可以，倒頭便睡。雖然旁邊的同學仔還想爭分奪秒，去把那厚厚的一疊筆記左翻右翻，但我也不再理它了。對有信心的東西，必須堅持。

至於那些論文功課，是我花了無數個晚上，犧牲了很多個周末的心血結晶。裡面有數碼相機 CCD 的詳細原理和資料，有個人的 research和見解，有 compact disc 的制式等等。還有 group presentation 的準備工夫，我被分配負責講解數碼相機鏡頭 zoom in / zoom out 的原理。其實也不太難，一點數學跟一點光學而已。Present 前的 rehearsal，我也鼓勵大家做到足。第一， Powerpoint file 和 report不可以有一個 spelling 或 grammatical error，為此我跟足所有人的 presentation 和 report file，替他們 check gramma。第二，每個人對自己的部份一定要熟，不可有半點遲疑。到 present 的一刻，流暢的英語再一次發揮效用，bravo！

Video Technology，很艱鉅的一科，三個 lab (還好只有一個要做 lab report)，三次測驗，一個 presentation 和一次 final exam。印象中，exam 應佔總分 55%，而且 notes 太浩瀚，是真的很大疊，約三吋左右，所以根本不可能 open book。我還記得交試卷時那一刻的心情 ── 合格啩？

其實那份試卷我只完成了七至八成左右，但令我再一次佩服 Prof. Siu 的出題技巧：有易有難，易得來，是只要你有溫習，那只要小心一點，要答得好基本上是不會有太大問題的。難得來，是你雖然有讀書，但你的 concept 清晰嗎？不肯定的話，那可能注定要賠上一點點分數。

至於那三個 lab 的 C++ program，我根本不可能獨自完成，全靠同學仔的幫助，解決了不少疑難，才可以有功課交。這個同學仔可是 C++ program 的箇中高手哩！

而 presentation 方面，是一個不算太難的題目："Content Based Image Retrieval"。在準備的過程之中也很順利，因為，我能夠借一本沒有人會借的參考書，意思是我喜歡看多久便多久，根本不會有人催我還。

而我幸運的地方，是這個 topic 是嘗試去解答一個很多人也會遇到的問題：我要找些圖片，比方說，一些汽車的圖片。那我輸入『汽車』，經過搜尋引擎出盡了吃奶的力在資料庫找尋之後，答案出來了，但那可是成千上萬的圖片。

如何可以令搜尋引擎再 smart 一點，只給出我想要的答案？例如，我輸入一張『法拉利加上一個紅色短裙美女』的圖片，系統便會找出所有這些圖片給我？

這是一個很令人困擾的問題，當中涉及到系統能否辨別出資料庫中的圖片和我輸入的圖片相似。

這需要一點兒聰明的數學技巧。

當然，我要 present 這個 topic，除了我要明白那些公式之外，我還最好能夠舉出一些有力的證據，證明哪一個方法可行，哪一個方法比較優勝等等。

然而，運氣再一次出現。我在網上找到一些外國大學的研究結果，證明 "color correlogram" 比 "histogram" 方法來得有效和優勝。經過理解和消化之後，我決定把這些書中沒有的東西引用到我的 presentation 裡。

一如所料，那些結果實在太 impressive，而且一出，就打破了只談理論，不講實際的悶局。對於聽眾的問題，我還能一一解答。記得有位同學問到 "Principal Component Analysis" 裡面座標變換的問題，我還可以引用 face recognition 的原理去解釋哩。

到了最後，這兩科出來的成績是出奇地好，是意料之外的好。

究竟是運氣，還是實力？開始懷疑，我們的成績還是不是『常態分佈』(Normal distribution)？抑或教授們也開始手鬆了，變成很多人也可以有高分。

當然，事過境遷，管它呢？

運氣，其實不簡單。

2006-07 sem 2 回顧 (2)

另一科 Optoelectronic devices，只一次測驗，都是畫畫 energy band diagram，計一些很繁複的加減乘除數。成績不太好，不消提。

這一科其實是學習光電子器材，尤其是半導體，諸如 laser、LED 及 solar cell (太陽能電池) 的基本原理及應用。

一開課，先由理論開始講：物質的原子模型及其構成、原子的能階 (energy level)，統計力學裡面的 Boltzmann distribution。再用 energy band diagram 去解釋為什麼有些東西是導電體，有些是半導體，而有些卻是絕緣體。

開始的三四課，真是神州六號太空人話齋：『感覺良好』。一則因為個人對物理學的濃厚興趣，二則因為 Professor Surya 的精彩演出。老實說，教書的確是一場 show。不單要對答如流，對自己本科的知識 (應該說，對那一堂的講課內容，即俗稱 notes) 更要瞭如指掌，而怎樣吸引在場學生的注意力，presentation skill 的好壞，也是關鍵。

打從第一課開始，已被他流利的英語吸引。平心而論，在港式英語氾濫成災的香港，要遇到一個廣東話和英文同樣流利的人，殊非容易。那種講得清楚，聽得明白，流利得來又不會像 David Letterman 的 Late Show 那樣，令本地觀眾聽到『抓破頭』的紐約式英語，豈只感覺良好而已，簡直『學到嘢』。曾經見過一些英文不佳的教授，兩分鐘的題材，要用五分鐘才把它說個明白。當年他們的博士論文是如何過關的？真令人費解。

Prof. Surya 的 presentation skill 也甚為了得。那些運用比喻和講古佬的招數，真是『順手拈來自有神』。可惜，幾課之後，我漸被那些繁瑣的計算搞得頭昏腦脹。每次做習題，亦變成要將題目和數十條公式對號入座，苦不堪言。

到學期尾，終於有個翻身機會。就是 presentation。

我和另一個同學仔一組，選了 laser 這個 topic，只可講13分鐘，即每人六分半，再加2分鍾 Q & A，用 Powerpoint，之後再交一個20頁的 report。題目是 "Fundamentals of Lasers"。我負責理論部分，同學仔則會講不同種類的 laser 以及它們的構造和應用。

5月8日就要present了。已經是5月頭，我在 MSN 見到他，他說還沒有搞定那個 ppt file。我翻閱了 3 本講 laser 的書，看了數十頁，搞通了基本原理之後，再去蕪存菁，『揸』出那 7 頁 ppt file，但一場 show 是要 rehearsal 的，沒時間，怎麼辦？

單是我那一部分已有那麼多。

5月4日至7日左右，記得我們只 rehearsal 過 6、7 次 (一定不超過 10 次)。同學仔的那部分，還有兩頁是空白的，就像 under construction。兄弟，莫非你定過台油？

5月7日，大家還在構築那個 ppt file，那 20 頁的 report，要暫且拋諸腦後，17日才交，考完試再理它罷。

我們的難題，是如何在 13 分鐘之內，講完這麼一個偉大的 topic。要簡潔得來，又要讓人聽得明白。太簡單，又會被誤以為『冇料』。Surya 最憎人講到過鐘，又或者說話太細聲，不清不楚。所以一定要背得滾瓜爛熟，不容有失。

講這個 topic 的，還有 6、7 組人，所謂先入為主，排得後出場，自然沒好處，有『拾人牙慧』之嫌。再者，臨尾才出場，大家既餓且倦，你表現再精彩，又哪有心情去聽？

我們排到尾三，怎麼辦？我惟有將 presenation 的金科玉律用到盡，再將 emission and absorption 理論裡面，愛因斯坦關係的方程式，簡化再簡化：

這部分已自我修正過 N 次，能講得很清楚，信心爆棚。

簡化了的愛因斯坦方程式：

5月8日終於來臨。

原來，根本不用擔心。在我們之前，其他組的表現，算好的只兩三組，大部分都『輸』，輸什麼？大部分人的 ppt 都太多，太多 slide，二人一組的，第一個已經 overrun，第二個根本不夠時間。既無 timing，也無計劃。有些人屢犯大忌，好像要把整部百科全書都搬上來一樣，根本沒有經過過濾，字小又沒圖，悶死。而且，他們大慨也不知道自己在說什麼。

有些又鵪鶉得可憐，拿著貓紙照稿讀，而且聲線太小，又抬不起頭說話，好像一輩子也沒有站過出來說話一般。

結果是，講內容，我組未必第一，但講流暢，講清楚，我敢保證，數一數二。

Presentation 的現場，是『電子及資訊工程學系』的會議室。

2006-07 sem 2 回顧 (1)

連場暴雨，打消了出街的念頭，出尖咀的計劃泡湯。幾時先會好天？

06-07年度 semester 2 剛剛考完試，一口氣倒是鬆了一鬆，借來做 present 的三本關於 LASER 的書，也可馬上還掉(並非多看無益，而是我還有一大把書要睇，救命！)，可是這個學期的 result，會怎樣？話說 ...

話說 sem 2 照例讀兩科：Optoelectronic Devices 和 Digital Image Processing。前者不需考試，但有 mid-term 小測驗及學期尾一次 presentation 連交一個 report。後者冇咩功課，但中途送你三個測驗，做兩個 Lab，學期尾有大考。Part time 就是如此，只得一次大考會好易死人，是故大小教授、博士等等，都出盡辦法，用各種方法令大家有分數。大家唔想肥，佢地就更加唔想肥我地。

Digital Image 一科，老實講，如果只係考吓 histogram equalization、edge detection、median filter、median cut algorithm 等等，有讀書，合格唔難。但，一考難度高的 half toning、數學證明等等，就真係......

考試時，一打開份卷，救命！就像沒有溫書似的，接近一半題目都好陌生。慘，那怎麼辦？

自己不算太聰明(緊急時，可能連小聰明也欠奉)，但考試講策略，唔係講你識幾多嘢。冇計，只揀最熟口熟面的去做。第一題，以 median filter 去除一個 5 x 5 影像的 salty noise，超容易。做阿...做的，才發覺，再做下去，EQ 再高，也會火都嚟！

何解？median filter 的原理，是將每一粒 pixel (picture element) 連同周圍的8粒 pixel 找出一個『中位數』，然後那個中位數便是中間那粒 pixel 的新數值。易呢？如果是3 x 3 或 4 x 4的話，OK 啦，但去到 5 x 5，你要排一大堆數目字，足足25次，真攞命！

唉，為何我的『愛將』Casio fx-5500LA 沒有排數字這可愛功能？

隨後 chain code、計 entropy，影像壓縮時的 bit allocation、error diffusion 等等我讀得很熟的topic，一慨欠奉。

到後來還好，總有一些我可以輕鬆完成(未知其他人是否一樣)。有一題是這樣的：假設你要對一個有 noise 的 image 做 restoration，即還原出一個原本的 image。數學上有一個方法，叫 iteration，即把一個運算重覆又重覆，做很多很多次。你要證明，用 gradient descendent 方法對這個問題來說，iteration 有效，即這個 iteration 是 "converge" (收歛)的。

方法是，先估計原先這個影像和它的 noise 的關係，然後，寫出關係式：

右手面第二項是一個偏微分(當 f = f(k) 時)。

之後，再進一步證明，當 f 趨向無限大時，它實際上等於把原本的影像做一次 deblurring (反模糊化)：

當然，要做到最後一行：

要用上一點兒數學技巧及乎合一些條件。例如矩陣 A 的 所有 eigenvalues 的絕對值要小於1，和觀察到可以用幾何級數 (geometrical progression) 去簡化尾二那一行運算。

雖然這一題識做，但『衰咗』的亦為數不少。Dr. Chan，我沒有怪你跣我們，只是你跣了我們，自己好像還懞然不知(從考完試後你對我們說一定冇死等等諸如此類的言論可知)，實在有點兒誇。

好驚， re-take 這一科的代價太大！