真‧Advanced Calculus - Woods

《Surely you're joking Mr. Feynman!》一書裡有以下的描述：

『我始終沒有學會的是“圍道積分（contour integration）”。　　

高中物理老師貝德先生給過我一本書，我會的所有積分方法，都是從這本書裏學到的。　　

事情是這樣的：一天下課之後，他叫我留下。“費曼”，他說，“你上課時話太多了，聲音又太大。我知道你覺得這些課太沉悶，現在我給你這本書。以後你坐到後面角落去好好讀這本書，等你全弄懂了之後，我才准你講話。”　　

於是每到上物理課時，不管老師教的是帕斯卡定律或是別的什麼，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍茲（woods）著的這本《高等微積分學》。貝德知道我念過一點《實用微積分》，因此他給我這本真正的大部頭著作——給大學二三年級學生念的教材。書內有傅立葉級數、貝塞爾函數、行列式、橢圓函數——各種我前所未知的奇妙東西。　　

那本書還教你如何對積分符號內的參數求微分。後來我發現，一般大學課程並不怎麼教這個技巧，但我掌握了它的用法，往後還一再地用到它。因此，靠著自修那本書，我做積分的方法往往與眾不同。　　

結果經常發生的是，我在麻省理工或普林斯頓的朋友被某些積分難住，原因卻是他們從學校學來的標準方法不管用。　　

如果那是圍道積分或級數展開，他們都懂得怎麼把答案找出；現在他們卻碰壁了。這時我便使出“積分符號內取微分”的方法——這是因為我有一個與眾不同的工具箱。當其他人用光了他們的工具，還沒法找到解答時，便把問題交給我了！』

正，一定要找這本“Advanced Calculus”出來，看看到底有多利害。

結果，我翻遍了幾間大學的圖書館在線書目，也找它不到。連經常流連的理大拉記，也沒有它的蹤跡。

最後，終於在城大圖書館目錄裡找到它：

Author - Woods, Frederick S. (Frederick Shenstone), 1864-
Title - Advanced calculus : a course arranged with special reference to the needs of students of applied mathematics / by Frederick S. Woods.
Publisher - Boston : Ginn, c1934.
Edition - New ed.

一本古書，而且，無論何時查目錄，都是 always available 的。

雖然找不到 1926 年的第一版，但這本 1934 年版已是夠老的了，應該和第一版相差無幾。

有一天，因工作關係，有機會可進入城大圖書館 ......

順著 QA303.W885 1934 的號碼，在『數學』一欄的書架邊上走，走到幾近窗口的地方，終於見到這本傳說中的奇書。

深啡色的封面，沒有任何設計，只有“Advanced Calculus”和作者名幾個大字，很典型的二三十年代教科書的風格。

伸手慢慢地、慢慢地把它拿出來，幾十年的舊書，生怕一下子不慎，把它弄得甩皮甩骨。

小心地把它輕放在書桌上，輕輕的翻開來，撲鼻的一陣舊書味。正文前的第一頁，用鉛筆寫了幾個英文字。

城大不過二十幾年，70 年代或以前的書理應絕無僅有。正納悶間，細心一看那幾行退了色的鉛筆字：“Donated by Ms Maria, 1934”。

由於沒有太多時間，惟有只翻到“Differentiation under the integral sign”那一章，看個飽。

雖然跑到城大之前，早已在維基百科上看過這個 topic，但看真書的時候，還是有種不可言喻的滿足感，就像看到大師的真跡似的。

不要小看這本古董書，在網上買二手，最平的賣價也要港幣七百多元！

統計力學 (Statistical Mechanics)

終於在還書期限之前，讀完這本 Statisical Mechanics 的頭 5 個 chapter，也是我最想知道的部份。其實全書總共有 13 個 chapter，5 個 appendix。但對於我這種物理學的門外漢，看懂了開頭的部份已經非常滿足。

一向有個帶著書本四處去的習慣，也習慣毫無顧忌地在飲茶食飯的地方，趁著飯菜還未到的時候，拿出來消磨時間，頂頂癮。

帶著這本書，會引起很多奇怪的問題。例如有人會問我為何如此勤力，是否臨近考試 (大概因為很少人會在無聊時看這些很深、很技術性的書)？又有人問過為何『統計』裡面會有『力學』？更有人因為只看到書名的頭一個字是“Statistics”而誤以為是本關於統計學的數學書。

『統計力學』是物理學的分枝，專門利用統計和或然率的方法去研究物質在很大數量時的運動，即它們的力學。例如，一個樽裡面的氣體，是由天文數字的氣體粒子組成，各有各的運動方向，速度和能量都各不相同。但把這些合起來，卻又可以解釋這堆粒子的能量分佈。

至於為何要用上統計？打個比喻：香港有 700 萬人，要調查某電視節目的收視率，總不成要訪問全港 700 萬人吧？抽樣訪問1000人之後，用統計將結果推展至 700 萬人便知收視率了。

原來一堆氣體可以有很多個能階 (energy level)，而並不是所有粒子都是位於同一個能階的，他們有一個分佈，找出他們的分怖情況，就能夠解釋很多宏觀世界的現象。諸如半導體和雷射等等的裝置，其基本原理，都是基於書裡面說的，著名的『費米─狄拉克統計』(Fermi-Dirac Statistics)。

事情是這樣的：剛剛完成的 Master 課程裡面，有一科是 Optoelectonics，專講 Laser 的原理和應用。負責講課的 Professor Surya 在課程開始的頭幾課時，講解了一些學 Laser 之前必須要知的物理學知識，其中一些便是 Fermi Energy 和 Fermi Distribution Function：

由於時間關係，而且當中也涉及到量子力學，Prof. Surya 根本無法慢慢解釋這條著明公式的來龍去脈。

好奇的我，下課後當然按捺不住，直奔圖書館，翻了一遍，結果找來這本統計力學的入門書。翻到 chapter 5，終於找到這條公式的出處。

可是要理解它，就必須看完這 5 個 chapter，以功課和工作的繁重，根本沒可能。到今年整個課程完結之後，終於可以一口氣看完它，很滿足。

Fermi 和 Dirac 都是物理學的巨人。Enrico Fermi 更被籲為是現代物理學的最後一位通才，而 Paul Dirac 便是量子力學 (Quantum Mechanics) 和量子電動力學 (Quantum Electrodynamics) 的開山祖師。

新 Banner 與貓豬

新 banner 花了半小時找素材(全都是自己拍的照片)、design和用 PS 合成。對創作來說，算是很快的了。

不是最理想的效果，因我其實很想要一種籃籃黑黑而又 dark dark 地的氣氛，以配合全黑的背景。始終覺得低調的影像，比較耐看。

所以我經常對人說我不懂拍彩色照片，可對方還哈哈大笑。

可知要拍張有看頭的彩色照片，實在極難。

Banner 的左方是貓豬，雖然已遠我們而去，但作為牠人類的朋友，很想留個影像，作個紀念。

在電腦裡有很多牠的舊照，找了張最帥氣的，放在 banner 上。

安息吧，老友。

有時會想：快餐店沒了貓豬，很不習慣。一間鋪總要有隻貓，能否找個接班人？

家駒與他的 White Fender

一星期前到過牛棚，一心想看看家駒的回顧展。星期天，已是旁晚時份，但還是烈日當空，展館門口卻還是一條長長的人龍。龍頭的告示牌寫著：『預計等候時間：一個半小時』。

還要到外母家吃飯，沒辦法，惟有放棄。

一星期後的周末，天陰陰的。再到現場一看，長長的人龍沒有了，也無需排隊呢。

推門進去，裡面卻是擠得水洩不通。偌大的幾個字：『別了家駒十五載…舊日的足跡』。左轉是一塊長長的白板，到訪者可以隨便寫上自己的心意和祝福。

主辦單位很花心思，將展場佈置成一個重現家駒少年時代家中的環境，還有二樓後座那 band 房的仿製佈置。

令我大開眼界的，還是他的遺物：彈過的結他、用過的 amp和 effect box、歌譜的手稿真跡、他的啟蒙老師 David Bowie 的黑膠、穿過的裇衫等等。

家駒的手稿

家駒的白色 Fender 電結他。原已轉贈他人，由現在的擁有人借出展覽

用過的 amp 和結他 effect box

家駒轉讓給家強的木結他，極具紀念意義

屋邨時代的家庭合照

日本專輯的海報，也是『繼續革命』的唱片封面

看罷臨走時，竟有種依依不捨的感覺。幫襯完牛棚裡的 toilet (是出奇地乾淨)之後再折返，推門再一次入內參觀。

這次細心再看看放在地上的家駒生平的 timeline：1976 年，拾獲一支結他，從此苦心自學結他技術。

1976年，我在做什麼？

運氣，其實不簡單

圖片來源：http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

期待很久的 2007 - 08 semester 2 exam 結果，終於在 6 月7 日公佈。

這個 sem 是我 master 生涯裡的最後一個 sem，完成之後，如考試結果不太強差人意，那將會把短暫的碩士生涯劃上句號，等畢業。

記得那天黑雨，大夥兒都不用返工。清早起來，肚仔餓，待雨勢漸小後，和老婆仔幫襯屋企樓下的麥記。之後便匆匆回家，著電腦。

Click 入 PolyU check exam result 的網頁，要先 login，過程中只想著，合格，一定要合格！

之前讀的 8 科，成績最好的只有個 B+。再回想今個 sem 讀的 Consumer Electronics 和 Video Technology，前者不用考試，但要交很多論文功課，還有一次小測。那個小測很好笑，由當初的 closed book，變成經由民主投票決定的 open book。

個人對 open book 的考試或測驗，實在有所保留，只因如果是長題目，大家便會像罰抄一樣，抄到手軟。而且這種形式不是考一個人識多少，而只是考大家能否在浩瀚的筆記之中，尋回那一點點答案，並且以迅雷不及掩耳的速度寫在答題紙上。記著，不可龜速，因為，可能還有十九幾題在後面等著你。

教這科的教授實在太棒，只因測驗卷的設計也實在棒呆了。每題長題目均有個框框，你答得太多，超越了那個框框的範圍，明顯地你已離開正確答案，愈踩愈遠。

好明顯，一個不折不扣的貼士。

卷裡還有一些選擇題，很易，真的一點也不難。可以大膽講一句，有讀書，一定識。

結果是我很快便做完那份卷，double check 之後，覺得還可以，倒頭便睡。雖然旁邊的同學仔還想爭分奪秒，去把那厚厚的一疊筆記左翻右翻，但我也不再理它了。對有信心的東西，必須堅持。

至於那些論文功課，是我花了無數個晚上，犧牲了很多個周末的心血結晶。裡面有數碼相機 CCD 的詳細原理和資料，有個人的 research和見解，有 compact disc 的制式等等。還有 group presentation 的準備工夫，我被分配負責講解數碼相機鏡頭 zoom in / zoom out 的原理。其實也不太難，一點數學跟一點光學而已。Present 前的 rehearsal，我也鼓勵大家做到足。第一， Powerpoint file 和 report不可以有一個 spelling 或 grammatical error，為此我跟足所有人的 presentation 和 report file，替他們 check gramma。第二，每個人對自己的部份一定要熟，不可有半點遲疑。到 present 的一刻，流暢的英語再一次發揮效用，bravo！

Video Technology，很艱鉅的一科，三個 lab (還好只有一個要做 lab report)，三次測驗，一個 presentation 和一次 final exam。印象中，exam 應佔總分 55%，而且 notes 太浩瀚，是真的很大疊，約三吋左右，所以根本不可能 open book。我還記得交試卷時那一刻的心情 ── 合格啩？

其實那份試卷我只完成了七至八成左右，但令我再一次佩服 Prof. Siu 的出題技巧：有易有難，易得來，是只要你有溫習，那只要小心一點，要答得好基本上是不會有太大問題的。難得來，是你雖然有讀書，但你的 concept 清晰嗎？不肯定的話，那可能注定要賠上一點點分數。

至於那三個 lab 的 C++ program，我根本不可能獨自完成，全靠同學仔的幫助，解決了不少疑難，才可以有功課交。這個同學仔可是 C++ program 的箇中高手哩！

而 presentation 方面，是一個不算太難的題目："Content Based Image Retrieval"。在準備的過程之中也很順利，因為，我能夠借一本沒有人會借的參考書，意思是我喜歡看多久便多久，根本不會有人催我還。

而我幸運的地方，是這個 topic 是嘗試去解答一個很多人也會遇到的問題：我要找些圖片，比方說，一些汽車的圖片。那我輸入『汽車』，經過搜尋引擎出盡了吃奶的力在資料庫找尋之後，答案出來了，但那可是成千上萬的圖片。

如何可以令搜尋引擎再 smart 一點，只給出我想要的答案？例如，我輸入一張『法拉利加上一個紅色短裙美女』的圖片，系統便會找出所有這些圖片給我？

這是一個很令人困擾的問題，當中涉及到系統能否辨別出資料庫中的圖片和我輸入的圖片相似。

這需要一點兒聰明的數學技巧。

當然，我要 present 這個 topic，除了我要明白那些公式之外，我還最好能夠舉出一些有力的證據，證明哪一個方法可行，哪一個方法比較優勝等等。

然而，運氣再一次出現。我在網上找到一些外國大學的研究結果，證明 "color correlogram" 比 "histogram" 方法來得有效和優勝。經過理解和消化之後，我決定把這些書中沒有的東西引用到我的 presentation 裡。

一如所料，那些結果實在太 impressive，而且一出，就打破了只談理論，不講實際的悶局。對於聽眾的問題，我還能一一解答。記得有位同學問到 "Principal Component Analysis" 裡面座標變換的問題，我還可以引用 face recognition 的原理去解釋哩。

到了最後，這兩科出來的成績是出奇地好，是意料之外的好。

究竟是運氣，還是實力？開始懷疑，我們的成績還是不是『常態分佈』(Normal distribution)？抑或教授們也開始手鬆了，變成很多人也可以有高分。

當然，事過境遷，管它呢？

運氣，其實不簡單。

渺小的港人，你可以做什麼？

圖片來源：維基百科

地震過了大半個月，今天，看著電視，看著演藝界的籌款節目，想想看，我們可以做的，其實不多。

沒有救人的專業知識，沒有搶險的體能和勇氣，就連滿腔熱血，說要回國內做義工救人的一少群港人，也被呼籲要冷靜下來，因為，倉猝行事，只會阻礙專業的拯救人員，只會礙事。

有人說，籌集的善款已超過十億，中央政府又將會重建災區，我們還要做些什麼嗎？

想想看，這種持久戰，要打好幾年，十億，算什麼？

我常常舉的好例子，就是當年日本神戶大地震，災後，以日本的強大國力和財力，也要十年時間，才能把這個城市回復原貌。中國總面積九百六十萬平方公里，四川大地震影響大半個國土，給她十年，可以嗎？

渺小的港人，幫不上什麼，但，能盡點棉力，便去吧！

於是，問題變成：喂，你今日捐咗未？

此中有真意，欲辯已忘言。

在網上，找到一個聖保羅舊生的blog，有以下的描述：

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最後一次見「何佬」，是六年前的一個早上。我在母校的長廊一步一步走近他，他回過頭來看見我，彼此臉上的反應卻吐露了無情的事實：大家都老了。

　上星期和舊同學午膳，從同學口中得知「何佬」今個學期之後便退休了，校方竟然沒有挽留，實情是超重的工作令他本人也不想留。聽說他最後一天上課，不同年代被他教過的舊生紛紛回校見證這歷史時刻，教員室門外擠得水洩不通，場面感人，大家都想再一見這位最受尊敬的老師的風采。

　之前很多次經過母校，都想進去跟他打一個招呼，唯諾間一次又一次錯過了。如今得悉他要退休，心沉了下來，想到今後能再見到他的機會，可能不多了。晚上回家，看到書架上三冊《數學和數學家的故事》，想起就是中一的時候他送給我的。那年他是我的班主任，開學那天所有高年班的師兄都跟我說同一句話：你有福了。

　中學五年裏有三年他都是我的數學老師，真是走運。沒有人可以像他那樣把枯燥的數學說得如此津津有味，娓娓道來。他真心關懷每一個學生，長長的一天過後，當其他老師早已離去，他還留下來替成績欠佳的同學補習。人家一星期工作五天，他周六周日照常回校工作，其餘時間就是在家裏照顧年邁的雙親。他服人的不單是他的學養，是徹底委身教育的精神，是崇高的人格。所有最頑劣的學生，在他面前都自動自覺乖乖安靜下來。

　如今他離開四十年的工作崗位，雙親也已經過世。睹物思人，看著書架上那三本小書，總想到不好動不交際的他一個人靜靜的一個瘦長的身影。

　可以再見到他嗎﹖讓我細細的說一聲感激。「何佬」，願你往後的日子，滿心歡喜走上人生的另一段。送上所有的祝福。

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最近在 facebook 上重遇很多舊朋友、舊同學。其中一個話我知，中學時代的數學老師『何佬』(即何廷灝老師)也在 facebook 上有 fans club。

嘩，驚世大發現！二話不說，join 了再算。

『何佬』堪稱史上最好的數學老師之一。之前的『緣起微積分』已經講過，他簡直就是我微積分的啟蒙老師。每次一想起他，就不其然會回憶起我的中學時代，好懷念。

真有種乜乜驕陽的感覺。

這個 fans club 裡面，有很多新舊照片。但所謂舊，都不過是十多年前的照片，是我聖保羅書院的學弟和何佬的合照。

其中有幾張近照，只見他開始白髮，有點蒼涼，不勝唏噓。

可是我對他的記憶，卻已是廿幾年前的 80 年代，當我還是高中生的時候。他喜歡穿樸實的裇衫西衭，一副大框眼鏡。看似其貌不揚，可他卻是全校數一數二最受歡迎的老師，單憑外表，旁人根本難以想像。

Fans club 裡面，還有一個超連結，連到一個學生們為他造的網頁。原來一班 F.5 的師弟，用大量人力物力，將何佬歷年教書時的金句筆錄，不單止有準確日期，連因發生什麼事而講出那段金句也有細緻的紀錄。

嘩，世上竟有如此一班有心人，肯花金錢和時間去完成此一巨著，實在令人拜服。

"Hologarithm" 紀念特刊裡面的簡介：

「寅畏上主是為智之本」這一句說話相信對每一個聖保羅書院的學生一點也不陌生。何廷灝老師於聖保羅書院任教了三十五年，教曉無數學生人生的道理，啟發了無數愚者的思維，帶領無數莘莘學子找得智慧寶庫的鑰匙。「桃李滿門」、「春風化雨」這兩句話，何老師可謂當之無愧。

何廷灝老師，別號何佬，是眾學生愛戴的好老師。至於為何取號何佬，則無人考究，眾學生只認為這是一個更親切的稱呼。認識何佬的人必會認同他是一位大孝子。俗語有云﹕「百行孝為先」，每天午飯時間，何佬必以迅雷不及掩耳的速度趕回家中照顧父母，然後才放心回校繼續工作，試問世上還有誰能夠做到這一點？

何佬的教學方式是與別不同的，他能夠用生動有趣的方式教數學。他經常提醒我們要理解數學，不要只是硬記公式而墨守成規。當我們忘記了他以前的教導時，他不但不會滿面怒容，反而處之泰然地道：「你唔記得的時候才是學習的時候」，然後循循善誘地帶領我們思考。於課餘的時間，何佬都非常樂意解答學生們數學的難題，不但毫無架子，還與學生們打成一片。何佬最喜歡邊走樓梯邊唱歌，不但氣不促，唱歌的技巧還到了爐火純青的境界，可謂人未到，聲先到。每當他看見其他老師在課室內、還未離開之際，他會立刻閃在一旁、默默等待。但當他的課堂鈴聲一響，他便速速離開班房以免阻礙其他老師，正是「責人寬，責己嚴」。

其實，受過何佬這一盞明燈的恩惠的學生有如天上繁星之多，我們這一小撮人的心聲又豈能代表所有學生對何佬的敬意、謝意？他的奇人奇事更是非筆墨所能盡錄，正是「此中有真意，欲辯已忘言」。無論如何，當我們形容一些人不自量力的時候，除了說他是孔夫子面前讀孝經、魯班門前弄大斧、關公面前耍大刀外，我心裏不由得默唸著：「何佬面前論算術」。

"Hologarithm" 部分內容：

今日何佬已經退咗休，聽啲師弟講，佢為人低調，好少出現公開場合或者周圍 social。在此衷心期望，佢有個快樂的退休生活！

"Hologarithm" 網頁：http://dogbert.servehttp.com/holofansclub/index.htm